円周率が3.05より大きいことを証明せよ

城南予備校の広告より。ついやってしまった。

円周率の定義は、円の周長と直径の比であるとする（このへん記憶が曖昧なので一応定義しておきます）
円に内接する正多角形を考える。多角形の頂点間は最短距離で結ばれているため、この正多角形の周長が円の周長より小さいのは自明（ちょっと乱暴か？）
したがって、ある円に内接する正多角形の周長と円の直径との比が3.05より大きい正多角形が存在すれば証明完了

詳細は省略するが、正6角形で計算するとちょうど3.0、正12角形で計算すると3.118ぐらい。よって証明完了。
電卓使わないで手計算なので計算ミスはあるかも。ルートを適当に近似して計算しました。三角関数なんて使っていないので中学生でも解けるはず。ピタゴラスの定理の証明法が分からなかったので、これだけ自明として使ってしまいました。

計算していないが多分正8角形でやると3.05より少し大きな解になるのでしょう。

追記: 電卓使って確認計算してみたところ、正12角形で3.1058, 正8角形で3.0615。ミスと言うほどの計算ミスは無かったみたいですが、大小関係をもっと厳密に考えないとダメですね。